Question

下面的程序框圖給出數列{a_n}（n∈N^*），下同）的遞推關系，計算并輸出數列{a_n}和{

pn

an× an+1

}前若干項之和S、T．
（1）若輸入p=1，S滿足80＜S＜100，求輸入的n的值；
（2）若輸入p＞1，n，求輸出的T的值．
（用關于p、n的代數式表示）

Answer 1

分析：（1）P=1時，由a_n=a_n-1+1，知a_n=n，所以S=a₁+a₂+…+a_n=

n(n+1)

2

，解得80＜S＜100，由此能求出n的值．
（2）P＞1時，a_n+1=pa_n+1，an+1+

1

p-1

=p(an+

1

p-1

)，所以an+

1

p-1

=

pn

p-1

，an=

pn-1

p-1

，

pn

an×an+1

=(p-1)×(

1

pn-1

-

1

pn+1-1

)，由此能求出T的值．

解答：（1）P=1時，a_n=a_n-1+1，
{a_n}（n∈N^*）是首項為1，公差為1的等差數列…（1分），
所以a_n=n…（2分），
S=a₁+a₂+…+a_n=

n(n+1)

2

…（3分），
解得80＜S＜100，即160＜n（n+1）＜200，
∴-

1

2

+

160+ 1 4

＜n＜-

1

2

+

200+ 1 4

，
∵n∈N^*，
∴n=13．…（5分）．
（2）P＞1時，a_n+1=pa_n+1，
an+1+

1

p-1

=p(an+

1

p-1

)…（7分），
∴{an+

1

p-1

}（n∈N^*）是首項為1+

1

p-1

=

p

p-1

，公比為p的等比數列…（8分），
所以an+

1

p-1

=

pn

p-1

，
an=

pn-1

p-1

…（9分），

pn

an×an+1

=(p-1)×(

1

pn-1

-

1

pn+1-1

)，…（11分），
所以：T =

p

a1×a2

+  

p2

a2×a3

+…+ 

pn

an×an+1

=(p-1)×(

1

p-1

-

1

pn+1-1

)
=

pn+1-p

pn+1-1

．…（13分）．

點評：本題以循環結構為載體，考查數列的應用，十分巧妙，體現了出題者的智慧，是一道好題．解題時要認真審題，注意遞推公式的合理運用．