Question

已知函數f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都過點P（2，0），且在點P處有相同的切線．
（ I）求實數a，b，c的值；
（ II）設函數F（x）=f（x）+g（x），求函數F（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）欲求實數a，b，c的值，只須求出切線斜率的值，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用斜率相等及都過點P列出等量關系，從而問題解決．
（II）欲求函數F（x）=f（x）+g（x），求函數F（x）的單調區間，利用導數來解決．先求出F（x）的導數，根據F′（x）＞0求得的區間是單調增區間，F′（x）＜0求得的區間是單調減區間即可．

解答：解：（ I）由題設知：

f(2)=0 g(2)=0 f′(2)=g′(2)

?

16+2a=0 4b+c=0 24+a=4b

?

a=-8 b=4 c=-16

實數a，b，c的值分別為：-8，4，-16．
（ II）F（x）=2x³+4x²-8x-16F′（x）=6x²+8x-8
令F′（x）=6x²+8x-8＞0得x＞

2

3

或x＜-2
令F′（x）=6x²+8x-8＜0得-2＜x＜

2

3

所以F（x）遞增區間為(-∞，-2)，(

2

3

，+∞)
遞減區間為(-2，

2

3

)．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數求閉區間上函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．