Question

設函數f（x）=xe^kx（k≠0）．
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）當k＞0時，求函數f（x）的單調區間；
（3）若函數f（x）在區間（-1，1）內單調遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）因為f'（x）=（1+kx）e^kx，f'（0）=1，f（0）=1．
所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=x．…．（4分）
（2）由f'（x）=（1+kx）e^kx=0得1+kx=0，即x=-

1

k

，k≠0．…．（5分）
①若k＞0，則當x＜-

1

k

時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減．
當x＞-

1

k

時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增．…．（7分）
②若k＜0，則當x＜-

1

k

時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
當x＞-

1

k

時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減．…..（9分）
所以當k＞0時，函數的減區間為（-∞，-

1

k

），增區間為（-

1

k

，+∞）．
當k＜0時，函數的增區間為（-∞，-

1

k

），減區間為（-

1

k

，+∞）．
（3）由（II）知，若k＞0，則當且僅當-

1

k

≤-1，即k≤1，f（x）在區間（-1，1）內單調遞增；…（11分）
若k＜0，則當且僅當-

1

k

≥1，即k≥-1．
綜上可知，f（x）在區間（-1，1）內單調遞增時，k的取值范圍是[-1，0）∪（0，1]．