Question

已知A，B，C是△ABC的三個內角，且向量a=cos

A-B

2

i+

5

2

sin

A+B

2

j的長度為|a|=

3 2

4

，其中i，j分別是x軸，y軸上的單位向量．
（1）求證：tanA•tanB是定值；
（2）求tan（A+B）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據向量模的運算表示出|a|得到A，B的關系式，然后根據兩角和與差的余弦公式整理，可求出tanA•tanB，進而得證．
（2）先根據角的范圍確定tanA與tanB的范圍，再根據兩角和與差的正切公式展開，最后利用基本不等式可求出最小值．

解答：解：（1）由題意i²=1，j²=1，i•j=0，
則|a|2=i2cos2

A-B

2

+

5

4

j2sin2

A+B

2

+

2

i•jcos

A-B

2

sin

A+B

2

=cos2

A-B

2

+

5

4

sin2

A+B

2

=

1+cos(A-B)

2

+

5

4

•

1-cos(A+B)

2

而|a|=

3 2

4

，則

1+cos(A-B)

2

+

5

4

•

1-cos(A+B)

2

=

9

8

即4cos（A-B）=5cos（A+B），
4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，cosAcosB=9sinAsinB，

sinAsinB

cosAcosB

=

1

9

，即tanAtanB=

1

9

．
（2）由tanAtanB=

1

9

＞0，且A，B，C是△ABC的三個內角，
知tanA＞0，tanB＞0，
則tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

tanA+tanB

1- 1 9

=

9

8

(tanA+tanB)≥

9

8

×2

tanAtanB

=

9

8

×2×

1 9

=

3

4

，
當且僅當tanA=tanB=

1

3

時，tan（A+B）的最小值為

3

4

．

點評：本題主要考查兩角和與差的余弦公式、正切公式、基本不等式的應用．向量和三角函數的綜合題是高考熱點問題，每年必考．