Question

已知以點C (t, )（t∈R），t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為坐標原點．

（1）求證：△OAB的面積為定值；

（2）設直線y= –2x+4與圓C交于點M，N若|OM|=|ON|，求圓C的方程．

（3）若t＞0，當圓C的半徑最小時，圓C上至少有三個不同的點到直線l：y –的距離為，求直線l的斜率k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）∵圓C過原點O,∴OC²=t²+ 則圓C的方程為

令x=0,得y₁=0,y₂=；令y=0得x₁=0,x₂=2t,即A(2t,0)  B(0, )

∴S_△OAB=OA×OB=||×|2t|=4．……4分

即△OAB的面積為定值

（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分線段MN．

∵K_MN = – 2      ∴K_OC=

∴ 解得t=2或t = –2．

當t=2時，圓心C的坐標為（2，1）半徑OC=，此時圓心到直線y= –2x+4的距離d=，即圓C與直線y= –2x+4相交于兩點。  

當t=-2時,圓心C的坐標為（–2，–1）半徑OC=

此時圓心到直線y= –2x+4的距離d=>, 即圓C與直線y= –2x+4不相交，

∴t= –2不合題意，舍去．∴圓C的方程為(x –2)²+(y –1)²=5．……9分

(3)半徑OC=．當且僅當t=時取等號 ∵t>0 ∴t=．

此時圓心坐標為C（）半徑為2．

若圓C上至少有三個不同的點到直線l：y – =k(x –3 –)的距離為．

則圓心C到直線的距離d≤．即：  所以– ．

【解析】略