Question

如圖，圓C與y軸相切于點(diǎn)T（0，2），與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且|MN|=3，
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M任作一條直線與圓O：x²+y²=4相交于兩點(diǎn)A、B，連接AN、BN．求證：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓的圓心為（a，2），則半徑為a，根據(jù)|MN|=3，圓心C到弦MN的距離為2，得r2=d2+(

|MN|

2

)2=4+

9

4

=

25

4

，求得r=a=

5

2

，從而可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）寫出M，N的坐標(biāo)，設(shè)出直線AB的方方程，和圓x²+y²=4聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，表示出NB和NA斜率，求得斜率互為相反數(shù)，故∠ANM=∠BNM．

解答：解：（Ⅰ）由已知可設(shè)C（a，2）（a＞0），圓C的半徑r=a，（2分）
又∵|MN|=3　
圓心C到弦MN的距離為2，故r2=d2+(

|MN|

2

)2=4+

9

4

=

25

4

，所以a=r=

5

2

，（4分）
所以，圓C的方程為(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

；　　　　　　　　　　　　　　（6分）
（Ⅱ）令y=0，解得M（1，0），N（4，0），（7分）
若直線AB斜率不存在，顯然∠ANM=∠BNM；                              （8分）
若直線AB斜率存在，設(shè)為y=kx-k，代入x²+y²=4得，
（k²+1）x²-2k²x+k²-4=0，①（9分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程①的兩根，
∴x1+x2=

2k2

k2+1

，x1x2=

k2-4

k2+1

，（10分）
則kNB+kNA=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=k(

x1-1

x1-4

+

x2-1

x2-4

)=k(2+

3

x1-4

+

3

x2-4

)=k(2+

3(x1+x2)-24

x1x2-4(x1+x2)+16

)=k(2+

6k2-24k2-24

k2-4-8k2+16k2+16

)=0．（13分）
∴∠ANM=∠BNM．（14分）

點(diǎn)評：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法以及圓錐曲線問題中韋達(dá)定理的應(yīng)用，是綜合類的題目，考慮到證兩條直線的斜率互為相反數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．