Question

已知函數f（x）=log_ax，（a＞0且a≠1）．
（1）若g（x）=f（|x|），當a＞1時，解不等式g（1）＜g（lgx）；
（2）若函數h（x）=|f（x-a）|-1，討論h（x）在區間[2，4]上的最小值．

Answer 1

（1）g（x）=log_a|x|是偶函數
當x＞0時，g(x)=logax(a＞1)是增函數，當x＜0時，g（x）=log_a（-x）（a＞1）是減函數，
∵g（1）＜g（lgx），∴g（1）＜g（|lgx|），
∴1＜|lgx|，
∴lgx＜-1或lgx＞1
∴0＜x＜0.1或x＞10；
∴不等式的解集為：{x|0＜x＜0.1或x＞10}
（2）h（x）=|f（x-a）|-1=|log_a（x-a）|-1
∵x-a＞0，x∈[2，4]，∴0＜a＜4且a≠1
若x=a+1時，log_a（x-a）=0
①當2＜a+1≤4，則1＜a≤3，∴x=a+1時，h（x）_min=h（a+1）=-1．
②當a+1＜2，則0＜a＜1，在x∈[2，4]時，h（x）為增函數，
∴x=2時，h（x）_min=h（2）=-log_a（2-a）-1．
③當a+1＞4，則3＜a＜4，在x∈[2，4]時，h（x）為減函數．
∴x=4時，h（x）_min=h（4）=-log_a（4-a）-1．
∴h（x）_min=

-loga(2-a)-1，0＜a＜1 -1，1＜a≤3 -loga(4-a)-1，3＜a＜4

．