Question

對于任意非零實數x,y，函數y=f(x)(x≠0)滿足f（xy）=f(x)+f(y).

（1）求證：f(1)=f(-1)=0；

（2）求證：y=f(x)是偶函數；

（3）若y=f(x)在（0，+∞）上是增函數，解不等式f(x)+f(x-)≤0.

Answer 1

(1)證明：令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),則f(1)=0;又令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),即0=2f(-1),

    ∴f(-1)=0,故f(1)=f(-1)=0.

(2)證明：∵f(1)=f(x·)=f(x)+f(),f(-1)=f(-x·)=f(-x)+f(),而f(1)=f(-1)=0,

    ∴f(-x)=f(x),

    ∴f(x)是偶函數，

(3)解析：∵f(x)+f(x-)≤0，即f(x²-x)≤0,而y=f(x)在(0,+∞)上是增函數，

    ∴f(x²-x)≤f(1),

    ∴

解得  ≤x≤,且x≠0,x≠.