Question

如圖所示，離心率為的橢圓上的點到其左焦點的距離的最大值為3，過橢圓內一點的兩條直線分別與橢圓交于點、和、，且滿足，其中為常數，過點作的平行線交橢圓于、兩點.

（1）求橢圓的方程；
（2）若點，求直線的方程，并證明點平分線段.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析．

試題分析：（1）由題得，，聯立解這個方程組即得.（2）首先求出直線MN的方程.由于MN過點P（1，1），故只要求出MN的斜率即可.又由于MN平行AB，故先求出直線AB的斜率.設，則.由可得點C的坐標，由可得點D的坐標，將A、B、C、D的坐標代入橢圓方程得四個等式，利用這四個等式可整體求出，然后求出直線MN的方程，與橢圓方程聯立可求得MN的中點坐標即為點P的坐標，從而問題得證 .
（1）由題得，，聯立 解得，，，
∴橢圓方程為              4分
（2）方法一：設，由可得.
∵點在橢圓上，故
整理得：          6分
又點在橢圓上可知，
故有   ①
由，同理可得：     ②
②-①得：，即              9分
又∥，故
∴直線的方程為：，即.
由可得：
∴是的中點，即點平分線段              12分
（2）方法二：∵，，∴，即

在梯形中，設中點為，中點為，
過作的平行線交于點
∵與面積相等，∴
∴，，三點共線            6分
設，
∴，，
兩式相減得 ，
顯然，（否則垂直于軸，因不在軸上，此時不可能垂直于軸保持與平行）且（否則平行于軸或經過原點，此時，，三點不可能共線）
∴
設直線斜率為，直線斜率為
∴，即    ①
設直線斜率為，直線斜率為
同理，，又，∴即三點共線    8分
∴四點共線，∴，代入①得           9分
∴直線的方程為  即
聯立得
∴點平分線段                12分