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設兩個非零向量e1和e2不共線．
（1）如果
AB
=
e1
-
e2
，
BC
=3
e1
+2
e2
，
CD
=-8
e1
-2
e2
，求證：A、C、D三點共線；
（2）如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=
2e1
-
3e2
，
CD
=2
e1
-k
e2
，且A、C、D三點共線，求k的值．
分析：（1）利用向量的運算法則求出
AC
，利用向量共線的充要條件判斷出
AC
∥
CD
，進一步得到三點共線．
（2）利用向量的運算法則求出
AC
，據三點共線判斷出兩個向量共線，利用向量共線的充要條件列出方程，利用平面向量的基本定理求出λ，k的值．
解答：（1）證明
AB
=
e1
-
e2
，
BC
=3
e1
+2
e2
，
CD
=-8
e1
-2
e2
，
AC
=
AB
+
BC
=4
e1
+
e2
=-
1
2
（-8
e1
-2
e2
）=-
1
2
CD
，
∴
AC
與
CD
共線，
又∵
AC
與
CD
有公共點C，
∴A、C、D三點共線．

（2）解
AC
=
AB
+
BC
=（
e1
+
e2
）+（
2e1
-
3e2
）=3
e1
-2
e2
，
∵A、C、D三點共線，
∴
AC
與
CD
共線，
從而存在實數λ使得
AC
=λ
CD
，
即3
e1
-2
e2
=λ（
2e1
-k
e2
）
由平面向量的基本定理，得
3=2λ
-2=-λk
，
解之得λ=
3
2
，k=
4
3
．
點評：本題考查向量的運算法則、向量共線的充要條件、利用向量共線解決三點共線、平面向量的基本定理．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設兩個非零向量
e1
和
e2
不共線．
（1）如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=2
e1
+8
e2
，
CD
=3
e1
-3
e2
，求證：A、B、D三點共線；
（2）若|
e1
|=2，|
e2
|=3，
e1
與
e2
的夾角為60°，是否存在實數m，使得m
e1
+
e2
與
e1
-
e2
垂直？

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）化簡：
sin(
π
2
+α)•cos(
π
2
-α)
cos(π-α)
+
sin(π-α)•sin(-α)
sin(π+α)
；
（2）設兩個非零向量
e1
和
e2
不共線，且
AB
=
e1
+2
e2
，
BC
=-2
e1
+3
e2
，
CD
=5
e1
+3
e2
，求證：A，B，D三點在同一直線上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知|
a
|=4，|
b
|=3，(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61，求
a
•
b
的值；
（2）設兩個非零向量
e1
和
e2
不共線．如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=2
e1
+8
e2
，
CD
=3
e1
-3
e2
，
求證：A、B、D三點共線．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設兩個非零向量e1和e2不共線.

（1）如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-8e1-2e2，

求證：A、C、D三點共線；

（2）如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A、C、D三點共線，求k的值.

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