Question

已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)＝有三個實根x₁，x₂，x₃．

(1)類比一元二次方程根與系數的關系，寫出此方程根與系數的關系；

(2)若a，b，c均大于零，試證明：x₁，x₂，x₃都大于零；

(3)若，f(x)在處取得極值且，試求此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知，得，比較兩邊系數，得． 　　(2)由c＞0，得x1，x2，x3三數中或全為正數或一正二負． 　　若為一正二負，不妨設由，得，則． 　　又＝，這與b＞0矛盾，所以x1，x2，x3全為正數． 　　(3)令，要f(x)＝0有三個不等的實數根，則函數f(x)有一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0． 　　由已知，得有兩個不等的實根， 　　，，由(1)(3)，得b＞－3． 　　又，∴b＝－1，將b＝－1代入(1)(3)，得a＝0． 　　，則，且f(x)在處取得極大值，在處取得極小值， 　　故f(x)＝0要有三個不等的實數根，則必須得．

提示：

分析：(1)聯想二次方程根與系數關系，寫出三次方程的根與系數．(2)利用(1)的結論進行證明；(3)三次函數的問題往往都轉化為二次方程來研究． 　　說明：本題考查學生類比探究函數與方程與圖形的轉化的能力．