Question

  (本題滿分16分)

已知圓，點(diǎn)，直線.

⑴求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

⑵在直線上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿足：對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（1）直線方程為

（2）存在點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為常數(shù)。

【解析】解：⑴設(shè)所求直線方程為，即，

直線與圓相切，∴，得，

∴所求直線方程為                -----------5分

⑵方法1：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，

當(dāng)為圓與軸左交點(diǎn)時(shí)，；

當(dāng)為圓與軸右交點(diǎn)時(shí)，，

依題意，，解得，（舍去），或。  -----------------8分

下面證明 點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)。

設(shè)，則，  

∴，

從而為常數(shù)。                                     -------------15分

方法2：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為常數(shù)，則，

∴，將代入得，

，即

對(duì)恒成立，         ----------------8分

∴，解得或（舍去），

所以存在點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為常數(shù)。  ------------15分