Question

如圖,在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=,M、N分別為AB、SB的中點.

(1)證明AC⊥SB;

(2)求二面角NCMB的大小.

Answer 1

解法一:(1)證明:如圖,取AC中點D,連結SD、BD.

∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SD,且AC⊥BD.

∴AC⊥平面SDB.又SB平面SDB,

∴AC⊥SB.

(2)解:∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,

∴平面SDB⊥平面ABC.

過N作NE⊥BD于點E,則NE⊥平面ABC;

過E作EF⊥CM于點F,連結NF,則NF⊥CM.

∴∠NFE為二面角NCMB的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,

∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.

∵SN=NB,

∴NE=SD==,且ED=EB.

在正△ABC中,由平面幾何知識可求得EF=MB=,

在Rt△NEF中,tan∠NFE=,

∴二面角NCMB的大小是arctan.

解法二:(1)證明:取AC中點O,連結OS、OB.

∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SO,且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，

∴SO⊥平面ABC.∴SO⊥BO.

如右圖建立空間直角坐標系O—xyz,則A(2,0,0),B(0,,0),C(-2,0,0),S(0,0, ),M(1,,0),N(0,, ).

∴=(-4,0,0), =(0, ,-).

∵·=(-4,0,0)·(0, ,-)=0,

∴AC⊥SB.

(2)解:由(1)得 =(3,  ,0), =(-1,0, ),

設n=(x,y,z)為平面CMN的一個法向量,則

取z=1,則x=,y=.

∴n=(, ,1).

又=(0,0,)為平面ABC的一個法向量,

∴cos〈n, 〉=.

∴二面角N-CM-B的大小為arccos.