Question

（本小題滿分12分）
設f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數，對于任意的 當時，都
有
（1）若函數g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c²)的定義域的交集是空集，求c的取值范圍；
（2）判斷函數f(x)在[-1,1]上的單調性，并用定義證明。

Answer 1

（1）{x|c＜-1或c＞2}
（2）增函數

（1）由-1≤x-c≤1得g(x)定義域：c-1≤x≤1+c
由-1≤x-c²≤1得f(x)定義域：c²-1≤x≤1+c² -------------------------4分
由得：c+1＜c²-1 或c²+1＜c-1解得：C＜-1或C＞2---5分
綜上：C的取值范圍為{x|c＜-1或c＞2}------------------------------------6分
（2）任取x₁、x₂Î[-1，1],且 x₁＜x₂，
則f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=·(x₁-x₂) --------------------------8分
由已知有：＞0，而x₁-x₂＜0 ∴·(x₁-x₂) ＜0
∴f(x₁) ＜f(x₂) ----------------------------------------------------10分  
∴f(x)在[-1，1]上為增函數，    ------------------------------------12分