Question

（本題滿分12分）
在直角坐標系中，點到兩點，的距離之和等于，設點的軌跡為。
（1）求曲線的方程；
（2）過點作兩條互相垂直的直線分別與曲線交于和。
①以線段為直徑的圓過能否過坐標原點，若能求出此時的值，若不能說明理由；
②求四邊形面積的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）①②

解析試題分析：（1）設，
由橢圓定義可知，點的軌跡是以為焦點，長半軸為的橢圓．
它的短半軸，
故曲線C的方程為．                                     ……4分
（2）①設直線,，
其坐標滿足
消去并整理得，
故．                             ……6分
以線段為直徑的圓過能否過坐標原點，則，即．
而，
于是，
化簡得，所以．                             ……8分
②由①，，
將上式中的換為得，
由于,
故四邊形的面積為，       ……10分
令，則，
而，故，故，
當直線或的斜率有一個不存在時，另一個斜率為，
不難驗證此時四邊形的面積為，
故四邊形面積的取值范圍是．                             ……12分
考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求法、直線與橢圓的位置關系、根與系數的關系、弦長公式、二次函數求最值和向量垂直的坐標運算，考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力和運算求解能力.
點評：線段為直徑的圓過坐標原點轉化為是解題的關鍵，弦長公式是解題時經常用到的公式，要熟練掌握，而且探究性問題在高考中經常考到，先假設存在，再求解即可.