Question

對于函數f(x)=a-

2

2x+1

 (a∈R)． 
（1）探索函數f（x）的單調性；
（2）是否存在實數a使得f（x）為奇函數．

Answer 1

分析：（1）設x₁＜x₂，化簡計算f（x₁）-f（x₂）的解析式到因式乘積的形式，判斷符號，得出結論．
（2））假設存在實數a使f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x），由此等式解出a的值，若a無解，說明不存在實數a使f（x）為奇函數，若a有解，說明存在實數a使f（x）為奇函數．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域為R，設x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

，（3分）
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實數f（x）總為增函數．（6分）
（2）假設存在實數a使f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x）（7分）
即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，（9分）
解得：a=1，故存在實數a使f（x）為奇函數．  （12分）

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的判斷．