Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知動直線y＝k(x＋1)與橢圓C相交于A，B兩點．
①若線段AB中點的橫坐標為－，求斜率k的值；
②已知點M(－，0)，求證：·為定值．

Answer 1

（1）＋＝1
（2）①±       ②見解析

(1)＋＝1(a>b>0)滿足a²＝b²＋c²，又＝，×b×2c＝，
解得a²＝5，b²＝，則橢圓方程為＋＝1．
(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
①將y＝k(x＋1)代入＋＝1，
得(1＋3k²)x²＋6k²x＋3k²－5＝0，
∴Δ＝48k²＋20>0，x₁＋x₂＝－，
∵AB中點的橫坐標為－，
∴－＝－1，解得k＝±．
②由(1)知x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，
∴·＝(x₁＋，y₁)·(x₂＋，y₂)
＝(x₁＋)(x₂＋)＋y₁y₂
＝(x₁＋)(x₂＋)＋k²(x₁＋1)(x₂＋1)
＝(1＋k²)x₁x₂＋(＋k²)(x₁＋x₂)＋＋k²
＝(1＋k²)＋(＋k²)(－)＋＋k²
＝＋＋k²＝ (定值)．