Question

三個城市分別位于A，B，C三點處（如圖），且AB=AC=20

2

km，BC=40km．今計劃合建一個貨運中轉站，為同時方便三個城市，準備建在與B、C等距離的O點處，并修建道路OA，OB，OC．記修建的道路的總長度為ykm．
（Ⅰ）設OA=x（km），或OB=x（km），或點O到BC的距離為x（km），或∠CBO=x（rad）．請你選擇用其中的某個x，將y表示為x的函數；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函數關系，確定貨運中轉站的位置，使修建的道路的總長度最短．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設OB=x（km），在Rt△ODB中，可求得OD=

OB2-DB2

=

x2-202

，從而可得y是x的函數表達式；若設OA=x（km），可求得y=x+

(20-x)2+202

（0≤x≤20）；若設∠CBO=x（rad），可求得y=20+

20(2-sinx)

cosx

（0≤x≤

π

4

）；
（Ⅱ）由y=2x+20-

x2-202

（20≤x≤20

2

），可求得y′=2-

x

x2-202

，利用導數法求得在[20，20

2

]上的極小值即可．

解答：解：（Ⅰ）設OB=x（km），延長AO交于BC于點D．
∵BD=DC=

1

2

BC=20，OB=OC，
∴OA=AD-0D=

AC2-DC2

-OD=20-OD，
在Rt△ODB中，OD=

OB2-DB2

=

x2-202

，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-

x2-202

，
又20≤x≤20

2

，
∴y=2x+20-

x2-202

（20≤x≤20

2

）…（6分）
（若設OA=x（km），則y=x+2

(20-x)2+202

（0≤x≤20）；
若設∠CBO=x（rad），
則y=20-20tanx+2×

20

cosx

=20+

20(2-sinx)

cosx

（0≤x≤

π

4

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函數關系y=2x+20-

x2-202

（20≤x≤20

2

），來確定符合要求的貨運中轉站的位置．
∵y=2x+20-

x2-202

（20≤x≤20

2

），
∴y′=2-

x

x2-202

，令y'=0得x=

40 3

3

，或x=-

40 3

3

（舍去）．
當x∈[20，

40 3

3

)時，y'＜0；當x∈(

40 3

3

，20

2

]時，y'＞0，
∴函數y在x=

40 3

3

時，取得極小值，這個極小值就是函數y在[20，20

2

]上的最小值．…（11分）
因此，當貨運中轉站建在三角形區內且到B、C兩點的距離均為

40 3

3

km時，修建的道路的總長度最短．…（13分）

點評：本題考查解三角形的實際應用，著重考查求函數解析式的方法，求得函數解析式是關鍵，注重綜合分析與應用能力的考查，屬于難題．