Question

．（本小題滿分14分）
已知數列是首項為，公差為的等差數列，是首項為，公比為的等比數列，且滿足，其中.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若數列與數列有公共項，將所有公共項按原順序排列后構成一個新數列，求數列的通項公式；
（Ⅲ）記（Ⅱ）中數列的前項之和為，求證：
.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設.  ………1分
由已知，所以.又b＞0，所以a＜3. …2分
因為，則.又a＞0，所以b＞2，從而有.   …3分
因為，故.          …………………4分
（Ⅱ）設，即.   ………………5分
因為，則，所以.  ………………6分
因為，且b∈N*，所以，即，且b＝3. ……7分
故.        …………………8分
（Ⅲ）由題設，.  …………………9分
當時，，
當且僅當時等號成立，所以.   ……………11分
于是.  12分
因為S₁＝3，S₂＝9，S₃＝21，則

.  …………………14分

略