Question

（2001•上海）用計算器驗算函數y=

lgx

x

(x＞1)的若干個值，可以猜想下列命題中的真命題只能是（　　）

• A．y=

  lgx

  x

  在（1，+∞）上是單調減函數
• B．y=

  lgx

  x

  ，x∈（1，+∞）有最小值
• C．y=

  lgx

  x

  ，x∈（1，+∞）的值域為(0，

  lg3

  3

  ]
• D．

  lim

  n→∞

  lgn

  n

  =0，n∈N

Answer 1

分析：利用導數研究函數的單調性，算出函數在（1，e）上為增函數，在（e，+∞）為減函數，最大值f（e）=

lge

e

，值域為（0，

lge

e

]，因此A、B、C都不正確．再根據極限的運算法則，算出

lim

n→∞

lgn

n

=0成立，由此可得答案．

解答：解：∵y=

lgx

x

的導數y′=

1 xln10 •x-lgx

x2

=

lge-lgx

x2

，
∴當x∈（1，e）時，y'＞0；當x∈（e，+∞）時，y'＜0
可得函數在（1，e）上為增函數，在（e，+∞）為減函數，
最大值f（e）=

lge

e

，值域為（0，

lge

e

]
由此可得A、B、C三項都不正確
由極限的運算法則，可得

lim

n→∞

lgn

n

=

lim

n→∞

1 nln10

1

=

lim

n→∞

1

nln10

=0
故D項正確
故選：D

點評：本題給出關于函數y=

lgx

x

(x＞1)的幾個結論，要我們找出其中的正確結論，著重考查了利用導數研究函數的單調性、函數的值域求法和極限的運算法則等知識，屬于中檔題．