Question

如圖，設拋物線方程為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B。

（1）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；

（2）已知當M點的坐標為時，，求此時拋物線的方程；

（3）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：由題意設

                     由得，則

                     所以

                     因此直線MA的方程為直線MB的方程為

                     所以     ①；     ②

由①-②得，而，因此

所以A、M、B三點的橫坐標成等差數列.

（2）解：由（1）知，當x₀=2時，

                將其代入①、②并整理得： 　

　　　　　所以　x₁、x₂是方程的兩根，

                因此  又  所以

                由弦長公式得：

　　　　  又， 所以p=1或p=2，

                因此所求拋物線方程為或

（3）解：設，由題意得

                則CD的中點坐標為

              　設直線AB的方程為

              　由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，

              　代入得

              　若在拋物線上，則

              　因此　x₃=0或x₃=2x₀.即D(0，0)或

              （1）當x₀=0時，則，此時，點M適合題意.

              （2）當，對于D(0，0)，此時

              　　又AB⊥CD，所以

即矛盾.

對于因為此時直線CD平行于y軸，又

所以直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，

所以時，不存在符合題意的M點.

綜上所述，僅存在一點M適合題意.

【解析】