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f（x）是定義在D上的函數，若存在區間[m，n]⊆D，使函數f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數f（x）是k型函數．給出下列說法：
①f(x)=3-
4
x
不可能是k型函數；
②若函數y=
(a2+a)x-1
a2x
(a≠0)是1型函數，則n-m的最大值為
2
3
3
；
③若函數y=-
1
2
x2+x是3型函數，則m=-4，n=0；
④設函數f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函數，則k的最小值為
4
9
．
其中正確的說法為
 
．（填入所有正確說法的序號）
分析：根據題目中的新定義，結合函數與方程的知識，逐一判定命題①②③④是否正確，從而確定正確的答案．
解答：解：①中，f（x）的定義域是{x|x≠0}，且f（2）=3-
4
2
=1，f（4）=3-
4
4
=2，∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，∴f（x）是
1
2
型函數，∴命題錯誤；
②中，y=
(a2+a)x-1
a2x
（a≠0）是1型函數，即（a2+a）x-1=a2x2，∴a2x2-（a2+a）x+1=0，
∴方程的兩根之差x1-x2=
(a+1)2
a2
-
4
a2
=
1+
2
a
-
3
a2
≤
2
3
3
，即n-m的最大值為
2
3
3
；∴命題正確；
③中，y=-
1
2
x2+x是3型函數，即-
1
2
x2+x=3x，解得x=0，或x=-4，∴m=-4，n=0；∴命題正確；
④中，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函數，則x3+2x2+x=kx有二負實數根，∴0＜k＜1，∴命題錯誤；
∴正確的命題是②③；
故答案為：②③．
點評：本題考查了在新定義下函數的定義域、值域問題以及解方程的問題，是易錯題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

f（x）是定義在D上的函數，若對任何實數α∈（0，1）以及D中的任意兩數x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），則稱f（x）為定義在D上的C函數．
（Ⅰ）試判斷函數f1（x）=x2，f2(x)=
1x
(x＜0)中哪些是各自定義域上的C函數，并說明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數，m是給定的正整數，設an=f（n），n=0，1，2，…，m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對于滿足條件的任意函數f（x），試求Sf的最大值；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中Sf的最大值記為h（m），且h（1）+h（2）+…+h（m）≤a對任意給定的正整數m恒成立，試求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是定義在D上的函數，若對D中的任意兩數x1，x2（x1≠x2），恒有f（
1
3
x1+
2
3
x2）＜
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)，則稱f（x）為定義在D上的C函數．
（Ⅰ）試判斷函數f（x）=x2是否為定義域上的C函數，并說明理由；
（Ⅱ）若函數f（x）是R上的奇函數，試證明f（x）不是R上的C函數；
（Ⅲ）設f（x）是定義在D上的函數，若對任何實數a∈[0，1]以及D中的任意兩數x1，x2（x1≠x2），恒有f（ax1+（1-a）x2）≤af（x1）+（1-a）f（x2），則稱f（x）為定義在D 上的π函數．已知f（x）是R上的m函數．m是給定的正整數，設an=f（n），n=0，1，2，…m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對于滿足條件的任意函數f（x），試求Sf的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是定義在集合D上的函數，若對集合D中的任意兩數x1，x2恒有f(
1
4
x1+
3
4
x2)＜
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)成立，則f（x）是定義在D上的β函數．
（1）試判斷f（x）=x2是否是其定義域上的β函數？
（2）設f（x）是定義在R上的奇函數，求證：f（x）不是定義在R上的β函數．
（3）設f（x）是定義在集合D上的函數，若對任意實數α∈[0，1]以及集合D中的任意兩數x1，x2恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），則稱f（x）是定義在D上的α-β函數．已知f（x）是定義在R上的α-β函數，m是給定的正整數，設an=f（n），n=1，2，3…m且a0=0，am=2m，記∫=a1+a2+a3+…+am，對任意滿足條件的函數f（x），求∫的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理）設f（x）是定義在D上的函數，若對任何實數α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）成立，則稱f（x）為定義在D上的下凸函數．
（1）試判斷函數g（x）=2x（x∈R），k(x)=
1x
 (x＜0)是否為各自定義域上的下凸函數，并說明理由；
（2）若h（x）=px2（x∈R）是下凸函數，求實數p的取值范圍；
（3）已知f（x）是R上的下凸函數，m是給定的正整數，設f（0）=0，f（m）=2m，記Sf=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），對于滿足條件的任意函數f（x），試求Sf的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•江蘇模擬）f（x）是定義在D上的函數，若對任何實數α∈（0，1）以及D中的任意兩數x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），則稱f（x）為定義在D上的C函數．
（Ⅰ）試判斷函數f1（x）=x2，f2(x)=
1x
(x＜0)中哪些是各自定義域上的C函數，并說明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數，m是給定的正整數，設an=f（n），n=0，1，2，…，m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對于滿足條件的任意函數f（x），試求Sf的最大值．

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