Question

如圖2-2-12所示,在半徑為1的⊙O中,引兩條互相垂直的直徑AE和BF,在弧EF上取點C,弦AC交BF于P,弦CB交AE于Q.證明四邊形APQB的面積是1.

圖2-2-12

Answer 1

思路分析:由已知條件可以證明四邊形ABEF是正方形,且邊長為,則正方形面積為2.而△ABD的面積為正方形面積的一半,所以,只需證明S_{四邊形APQB} =S_△ABD,即證S_△BPD?=S_△BPQ?,即證DQ∥PB.因為BP⊥AE,所以,只需證DQ⊥AE.

證明:∵AE、BF為互相垂直的兩條直徑,垂足O為圓心,?

∴AE、BF互相平分、垂直且相等.∴四邊形ABEF是正方形.?

∴∠ACB =∠AEF =45°,即∠DCQ =∠QED.?

∴D、Q、E、C四點共圓.連結CE、DQ,則∠DCE +∠DQE =180°.?

∵AE為⊙O的直徑,∴∠DCE =90°,∠DQE =90°.?

∵∠FOE =90°,進而DQ∥BF,∴S_△BPQ =S_△BPD?,?

∴S_△ABP +S_△BPQ =S_△ABP +S_△BPD,即S_{四邊形ABQP} =S_△ABD.?

∵⊙O的半徑為1,∴正方形邊長為,即AB =AF =.?

∴S_{四邊形ABQP} =S_△ABD?= AB·AF =1.