Question

已知z為負數，且（1+3i）z為純虛數，|z|=．
（Ⅰ）求復數z；
（Ⅱ）若復數ω滿足|2ω-z|≤1，求|ω|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出復數z，對復數方程求出z，通過復數的分子與分母同乘分母的共軛復數，化簡復數通過復數的模求出復數z即可．（Ⅱ）設出復數ω，把復數z代入|2ω-z|≤1，求出復數滿足方程，然后求|ω|的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因為（1+3i）z為純虛數，所以設（1+3i）z=ai，（a∈R，a≠0）
則為純虛數，==；
∵|z|=．
所以，a=±10，
∴z=3+i或z=-3-i．
（Ⅱ）設ω=x+yi（x，y∈R），若z=3+i，則
|2ω-z|=|2x+2yi-3-i|=≤1，
即（x-）²+（y-）²≤，以為圓心，為半徑的圓以及內部部分，
所求最大值就是圓心到原點的結論加上半徑，
所以|ω|的最大值為，
同理當z=-3-i時，|ω|的最大值為．
點評：本題是中檔題，考查復數的基本運算，復數的模的求法，復數滿足的軌跡方程，考查轉化思想，計算能力．