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已知數列
8•1
12•32
，
8•2
32•52
，…，
8•n
(2n-1)2•(2n+1)2
，…，Sn為該數列的前n項和，
（1）計算S1，S2，S3，S4，
（2）根據計算結果，猜想Sn的表達式，并用數學歸納法進行證明．
分析：（1）按照數列和的定義計算即可
（2）按照數學歸納法的證明步驟進行證明．
解答：解：（1）S1=
8•1
12•32
=
8
9
，
S2=
8
9
+
8•2
32•52
=
24
25
，
S3=S2++
8•2
52•72
=
48
49
，
S4=S3++
8•3
72•92
=
80
81
．
推測Sn=
(2n+1)2-1
(2n+1)2
（n∈N*）．用數學歸納法證明如下：…（5分）
（1）當n=1時，S1=
(2+1)2-1
(2+1)2
=
8
9
，等式成立
（2）假設當n=k時，等式成立，
即Sk=
(2k+1)2-1
(2k+1)2
，那么當n=k+1時，
Sk+1=Sk+
8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2

=
(2k+1)2-1
(2k+1)2
+
8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2

=
[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2

=
(2k+1)2(2k+3)2-(2k+1)2
(2k+1)2(2k+3)2

=
(2k+3)2-1
(2k+3)2

=
[2(k+1)+1]2-1
[2(k+1)+1]2

也就是說，當n=k+1時，等式成立．
根據（1）和（2），可知對一切n∈N*，等式均成立…（10分）
點評：本題主要考查數學歸納法的應用，用歸納法證明數學命題時的基本步驟：（1）檢驗n=1成立（2）假設n=k時成立，由n=k成立推導n=k+1成立，要注意由歸納假設到檢驗n=k+1的遞推．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列
8•1
12•32
，  
8•2
32•52
， …， 
8n
(2n-1)2(2n+1)2
， ….Sn為其前n項和．計算得S1=
8
9
，  S2=
24
25
，  S3=
48
49
，  S4=
80
81
.觀察上述結果，推測出計算Sn的公式，并用數學歸納法加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網給出下列四個命題：
①已知函數y=2sin（x+φ）（0＜φ＜π）的圖象如圖所示，則?=
π
6
或
5
6
π；
②已知O、A、B、C是平面內不同的四點，且
OA
=α
OB
+β
OC
，則α+β=1是A、B、C三點共線的充要條件；
③若數列an恒滿足
a
2
n+1
a
2
n
=p（p為正常數，n∈N*），則稱數列an是“等方比數列”．根據此定義可以斷定：若數列an是“等方比數列”，則它一定是等比數列；
④求解關于變量m、n的不定方程3n-2=2m-1（n，m∈N*），可以得到該方程中變量n的所有取值的表達式為n=
1
12
(4k+8)
（k∈N*）．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知數列
8•1
12•32
，  
8•2
32•52
， …， 
8n
(2n-1)2(2n+1)2
， ….Sn為其前n項和．計算得S1=
8
9
，  S2=
24
25
，  S3=
48
49
，  S4=
80
81
.觀察上述結果，推測出計算Sn的公式，并用數學歸納法加以證明．

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