Question

已知集合的元素全為實數(shù)，且滿足：若，則。
（1）若，求出中其它所有元素；
（2）0是不是集合中的元素？請你設(shè)計一個實數(shù)，再求出中的所有元素？
（3）根據(jù)（1）（2），你能得出什么結(jié)論。

Answer 1

（1）中元素為（2）（3）A中的元素為4的倍數(shù)

本題考查的知識點是元素與集合關(guān)系的判斷，其中根據(jù)已知中若a∈A，則
∈A，將已知條件代入進行遞推是解答本題的關(guān)鍵，在（3）的解答中易忽略使
三式均有意義時，對a的限制，而不能得到滿分．
（1）由已知中若a∈A，則 ∈A，由a=2∈A，可得 ，再由
2∈A，進而得到A中的所有元素；
（2）根據(jù)已知中若a∈A，則 ∈A，令0∈A，可得-1∈A，根據(jù)此時
中分母為0，式子無意義，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知中若a∈A，則 ∈A，結(jié)合（1）的結(jié)論可得 ∈A，而根據(jù)（2）的結(jié)論，可得要使 三式,均有意義，應(yīng)有a≠0，a≠±1
解：(1)由，則，又由，得,再由
得，而，得，故中元素為．… 4分
(2) 不是的元素．若，則，而當時，不存在，故0不是的元素．取，可得．……………… 8分
(3) 猜想：①中沒有元素；②已知A中的一個元素可得其余3個，且每兩個互為負倒數(shù)．③A中元素個數(shù)為4的倍數(shù)。………10分
①由上題知：．若，則無解．故……12分
②設(shè)，則，
且．
顯然．若，則，得：無實數(shù)解．
同理，．
故四個互不相等的數(shù)．
故A中的元素為4的倍數(shù)……………… 14分