Question

已知函數滿足下列條件：對任意的實數x₁，x₂都有λ(x₁－x₂)²≤(x₁－x₂)[f(x₁)－f(x₂)]和|f(x₁)－f(x₂)|≤|x₁－x₂|，其中λ是大于0的常數．設實數a₀，a，b滿足f(a₀)=0和b=a－λf(a)

(Ⅰ)證明λ≤1，并且不存在b₀≠a₀，使得f(b₀)=0；

(Ⅱ)證明(b－a₀)²≤(1－λ²)(a－a₀)²；

(Ⅲ)證明[f(b)]²≤(1－λ²)[f(a)]²．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題主要考查函數、不等式等基本知識，以及綜合運用數學知識解決問題的能力． 　　證法一：(I)任取 和② 可知， 從而．假設有①式知 ∴不存在 (II)由③ 可知④ 由①式，得⑤ 由和②式知，⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 (III)由③式可知 (用②式) (用①式) 　　證法二：題目中涉及了八個不同的字母參數以及它們的抽象函數值．參數量太多，讓考生們在短時間內難以理清頭緒．因而解決問題的關鍵就在于“消元”——把題設條件及欲證關系中的多個參數量轉化為某幾個特定變量來表示，然而再進行運算證明．“消元”的模式并不難唯一，這里提供一個與標準解答不同的“消元”設想，供參考． 題設中兩個主要條件是關于與的齊次式．而點、是函數圖象上的兩個點，是連接這兩點的弦的斜率．若欲證的不等式關系也能轉化為這樣的斜率表示，則可以借助斜率進行“整體消元”． 設為不相等的兩實數，則由題設條件可得： 和． 令， 則對任意相異實數，有及，即． 由此即得；又對任意有，得函數在R上單調增，所以函數是R上的單調增函數． 如果，則，因為，所以．即不存在，使得．于是，(Ⅰ)的結論成立． 考慮結論(Ⅱ)： 因為，故原不等式為 ； 當時，左右兩邊相等； 當時，，且，則原不等式即為： ， 令，則原不等式化為，即為． 因為，則，所以成立，即(Ⅱ)中結論成立． 再看結論(Ⅲ)： 原不等式即， 即，注意到，則，則原不等式即為 即，令，則原不等式即化為 ，即，因為，則，所以 成立，即(Ⅲ)的結論成立． 在一般的“消元”方法中，本題三個小題中不等關系的證明過程差異較大．尤其是(Ⅱ)與(Ⅲ)，許多尖子學生證明了(Ⅱ)的結論而不能解決(Ⅲ)． 借助斜率k“整體消元”的想法把(Ⅱ)、(Ⅲ)中的不等關系都轉化為相同的不等關系，然后由條件推證，有獨到之處．