Question

已知函數和函數，其中為參數，且滿足.

（1）若，寫出函數的單調區間（無需證明）；

（2）若方程在上有唯一解，求實數的取值范圍；

（3）若對任意，存在，使得成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）的單調增區間為，，單調減區間為；（2）或；（3）.

【解析】

試題分析：（1）當時，，由二次函數的圖像與性質可寫出函數的單調區間；（2）先將在上有唯一解轉化為在上有唯一解，進而兩邊平方得到或，要使時，有唯一解，則只須或即可，問題得以解決；（3）對任意，存在，使得成立的意思就是的值域應是的值域的子集，然后分別針對與兩種情形進行討論求解，最后將這兩種情況求解出的的取值范圍取并集即可.

試題解析：（1）時， 1分

函數的單調增區間為，，單調減區間為 4分

（2）由在上有唯一解

得在上有唯一解 5分

即，解得或 6分

由題意知或

即或

綜上，的取值范圍是或 8分

（3）

則的值域應是的值域的子集 9分

①時，在上單調遞減，上單調遞增，故 10分

在上單調遞增，故 11分

所以，即 12分

②當時，在上單調遞減，故

在上單調遞減，上單調遞增，故

所以，解得.又，所以 13分

綜上，的取值范圍是 14分.

考點：1.二次函數的圖像與性質；2.指數函數的圖像與性質；3.函數的單調性與最值.