Question

如圖，已知⊙C過焦點A（0，P）（P＞0）圓心C在拋物線x²=2py上運動，若MN為⊙C在x軸上截得的弦，設|AM|=l₁，|AN|=l₂，∠MAN=θ
（1）當C運動時，|MN|是否變化？證明你的結論．
（2）求

l2

l1

+

l1

l2

的最大值，并求出取最大值時θ值及此時⊙C方程．

Answer 1

分析：（1）先設出圓的方程，求出M，N兩點的坐標表示出|MN|即可發現|MN|的取值是否變化．
（2）由（1）可設M（x-p，0）、M（x+p，0），先利用兩點間的距離公式求出 l₁，l₂，，代入

l1

l2

+

l2

l1

整理為關于p的函數，結合基本不等式求出其最大值和此時圓C的方程即可．

解答：解：（1）設C（x₁，y₁），⊙C方程為（x-x₁）²+（y-y₁）²=|AC|²
∴（x-x₁）²+（y-y₁）²=x₁²+（y₁-P）²與y=0聯立
得x²-2x₁x+2y₁p-p²=0…（2分）
∴|MN|=

(2 x   1 ) 2   -4(2 y   1 p- p 2   )

=

4 x 2 1 -8 y   1 p+4 p 2

∵C（x₁，y₁）在拋物線上
∴x₁²=2py₁，代入|MN|
得|MN|=

4p2

=2p為定值
∴|MN|不變
（2）由（1）可設M（x-p，0）、M（x+p，0），

l

1

=

(x-p ) 2   + p 2

，

l

2

=

(x+p ) 2   + p 2

∴

l   2

l   1

+

l   1

l   2

=

l 2 1 + l 2 2

l   1 l   2

=

2 x 2   +4 p 2

(x-p ) 2   + p 2   • (x+p ) 2   + p 2

=

2 x 2   +4 p 2

x 4   +4 p 2

=

4py+4 p 2

4 p 2   y 2   +4 p 2

=2•

y+p

y 2   + p 2

=2

1+ 2yp y 2   + p 2

=2

1+ 2p p 2   y +y

≤2

2

當且僅當y=p時取等號，即x=±

2

p
∴圓方程為(x±

2

p)2+(y-p)2=2p2
當x=

2

p時，∠MAN為AM到AN的角KAM=

p

p-x

KAN=

p

-(x-p)

∴tan∠MAN=

KAN-KAM

1+KAN•KAM

=1
∴∠θ=45°
同理，x=-

2

p時，∠MAN為AN到AM的角仍可得∠θ=45°

點評：本題是對圓與拋物線以及基本不等式，距離公式等知識的綜合考查，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．