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已知函數f（x）=sin2x+
3
cos2x，x∈R；
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區間[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
（3）畫出函數在[0，π]上的圖象．
分析：（1）f（x）=2(
1
2
sin2x+
3
2
cos2x)，利用兩角和的正弦公式即可得出，再利用周期公式T=
2π
ω
即可得出；
（2）由x∈[0，
π
2
]，可得(2x+
π
3
)∈[
π
3
，
4π
3
]，即可得出sin(2x+
π
3
)∈[-
3
2
，1]，進而得到f（x）在區間[0，
π
2
]上的最值．
（3）通過列表描點即可畫出圖象．
解答：解：f（x）=2(
1
2
sin2x+
3
2
cos2x)=2sin(2x+
π
3
)．
（1）T=
2π
2
=π；
（2）∵x∈[0，
π
2
]，∴(2x+
π
3
)∈[
π
3
，
4π
3
]，
∴sin(2x+
π
3
)∈[-
3
2
，1]，
∴2sin(2x+
π
3
)∈[-
3
，2]．
∴f（x）在區間[0，
π
2
]上的最大值為-
3
，最小值為2．
（3）列表：
 x  0  
π
12
  
π
3
  
7π
12
  
5π
6
 π 
 2x+
π
3
  
π
3
  
π
2
  π  
3π
2
  2π
7π
3
 
 sin(2x+
π
3
)		  
3
2
  1  0 -1  0  
3
2
 2sin(2x+
π
3
)		  
3
  2  0 -2  0  
3
畫出圖象：
點評：本題考查了三角函數的圖象與性質、兩角和的正弦公式、圖象的畫法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=
π
3
時，取得極小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）對任意x1，x2∈[-
π
3
，
π
3
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，試求實數m的取值范圍；
（3）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x），若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有g（x）≥F（x），則稱直線l與曲線S的“上夾線”．觀察下圖：

根據上圖，試推測曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并作適當的說明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-blnx在（1，2]是增函數，g（x）=x-b
x
在（0，1）為減函數．
（1）求b的值；
（2）設函數φ（x）=2ax-
1
x2
是區間（0，1]上的增函數，且對于（0，1]內的任意兩個變量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=cos（ 2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足2
AC
•
CB
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=
1
2
-
3
4
，求△ABC的面積S．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對應變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
②設點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
a
2x
+xlnx，g（x）=x3-x2-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求滿足該不等式的最大整數M；
（2）如果對任意的s，t∈[
1
3
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍．

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