Question

已知a＞0，函數f(x)=-2asin+2a+b,當x∈時，-5≤f(x)≤1.
（1）求常數a,b的值；
(2)設g(x)=f且lg g(x)＞0,求g(x)的單調區間.

Answer 1

（1）a=2,b=-5.（2）g(x)的單調減區間為（k∈Z）

（1）∵x∈，∴2x+∈.
∴sin∈，
∴-2asin∈［-2a,a］.
∴f(x)∈［b,3a+b］,
又∵-5≤f(x)≤1,因此可得b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.
（2）由（1）知a=2,b=-5,
∴f（x）=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1
=4sin-1.
又由lg g(x)＞0得g(x)＞1,∴4sin-1＞1,
∴sin＞,
∴2k+＜2x+＜2k+,k∈Z.
由2k+＜2x+≤2k+(k∈Z),得g(x)的單調增區間為：（k∈Z）
由2k+≤2x+＜2k+,
得g(x)的單調減區間為（k∈Z）.