Question

若tanα+

1

tanα

=

10

3

，α∈（

π

4

，

π

2

），則sin（2α+

π

4

）的值為（　　）

• A、-

  2

  10

• B、

  2

  10

• C、

  5 2

  10

• D、

  7 2

  10

Answer 1

分析：把已知條件的等式兩邊都乘以tanα，得到關于tanα的方程，求出方程的解，根據α的范圍即可得到滿足題意tanα的值，然后把所求的式子利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，再利用同角三角函數間的基本關系把分母中“1”化為正弦與余弦函數的平方和的形式，分子利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，然后給分子分母都除以cos²α，變為關于tanα的關系式，把求出的tanα的值代入即可求出值．

解答：解：由tanα+

1

tanα

=

10

3

，去分母得：（tanα-3）（3tanα-1）=0，
解得：tanα=3或tanα=

1

3

，
由α∈（

π

4

，

π

2

）得tanα＞1，故tanα=

1

3

舍去，
則sin（2α+

π

4

）=

2

2

×

sin2α+cos2α

1

=

2

2

×

2sinαcosα+cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

2

2

×

2tanα+1-tan2α

1+tan2α

=-

2

10

．
故選A

點評：此題考查學生靈活運用兩角和的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，靈活運用二倍角的正弦、余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道綜合題．