Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸，焦點F在直線m：y=

4

3

(x-1)上，直線m與拋物線相交于A，B兩點，P為拋物線上一動點（不同于A，B），直線PA，PB分別交該拋物線的準線l于點M，N．
（1）求拋物線方程；
（2）求證：以MN為直徑的圓C經過焦點F，且當P為拋物線的頂點時，圓C與直線m相切．

Answer 1

分析：（1）依題意可知焦點F的坐標，進而求得p，則拋物線的方程可得．
（2）把直線與拋物線方程聯立，求得交點A，B的坐標，設出點P的坐標，則直線AP的斜率可表示出來，根據點斜式表示直線AP的方程，把x=-1代入求得M的縱坐標，同理可表示出直線PB的方程把x=-1代入求得N的縱坐標，進而求得

MF

•

NF

=0判斷出MF⊥NF，進而可知以MN為直徑的圓C經過焦點F．當P為拋物線的頂點時，t=0，可得MN中點，即圓心坐標，進而求得

CF

•

AB

=0，進而可知CF⊥AB，推斷出圓C與直線m相切．

解答：解：（1）依題意，焦點F（1，0），拋物線方程為y²=4x．
（2）由

y2=4x y= 4 3 (x-1)

得4x²-17x+4=0，x₁=4，x2=

1

4

，
∴A(4，4)，B(

1

4

，-1)．
設P(

t2

4

，t)，則kPA=

t-4

t2 4 -4

=

4

t+4

，
直線PA：y-4=

4

t+4

(x-4)，令x=-1，
得yM=

4t-4

t+4

，即M(-1，

4t-4

t+4

)，
同理，直線PB：y+1=

4

t-1

(x-

1

4

)，令x=-1，得yN=

-t-4

t-1

，
即N(-1，

-t-4

t-1

)，
∴

MF

•

NF

=(2，-

4t-4

t+4

)•(2，

t+4

t-1

)=0，∴MF⊥NF，
∴以MN為直徑的圓C經過焦點F．
當P為拋物線的頂點時，t=0，可得MN中點，即圓心C(-1，

3

2

)，

CF

=(2，-

3

2

)，

AB

=(-

15

4

，-5)，
∴

CF

•

AB

=0，即CF⊥AB，
∴圓C與直線m相切．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生運用數學知識分析問題和解決問題的能力．