Question

已知奇函數f（x）定義域R，且f（x）在[0，+∞）為增函數，是否存在m∈R，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）對[0，

π

2

]恒成立，若存在，求m的范圍．

Answer 1

分析：奇函數f（x）定義域R，故f（0）=0，不等式f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）可轉化為f（cos2θ-3）＞f（-4m+2mcosθ），再由f（x）在[0，+∞）為增函數，得在R上是增函數，由單調性解不等式即可．

解答：解：由題意知，奇函數f（x）在R上是增函數，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）可f（cos2θ-3）＞f（-4m+2mcosθ），即cos2θ-3＞-4m+2mcosθ，
即cos2θ-3＞m（2cosθ-4），由于2cosθ-4＜0，故得m＞

cos2θ-3

2cosθ-4

=

cos 2θ-2

cosθ-2

=4+cosθ-2+

2

cosθ-2

，由于4+cosθ-2+

2

cosθ-2

≤4-2

2

，所以m＞4-2

2

即存在m＞4-2

2

使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）對[0，

π

2

]恒成立，
答：存在存在m∈R，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）對[0，

π

2

]恒成立，m的范圍是m＞4-2

2

點評：本題考查奇偶性與單調性的綜合，綜合考查了利用函數的性質解抽象不等式恒成立的問題，本題綜合性較強，比較抽象，解決本題的關鍵是靈活運用函數的性質進行正確轉化．