Question

（2012•西區一模）已知函數f（x）=ax³+bx+4a，a，b∈R，當x=2，f（x）有極值-

4

3

（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=k有3個解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f′（2）=0，f（2）=-

4

3

，由此列方程組可解得a，b，從而可得f（x）解析式；
（2）由（1）所求解析式可得f′（x），利用導數可得f（x）的單調區間及極值，根據f（x）的圖象的大致形狀即可求得k的范圍；

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+b，
依題意得

f′(2)=12a+b=0 f(2)=8a+2b+4=- 4 3

，解得

a= 1 3 b=-4

，
所以所求解析式為f（x）=

1

3

x3-4x+

4

3

．
（2）由（1）可得f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，得x=±2，
當x＜-2或x＞2時f′（x）＞0，當-2＜x＜2時，f′（x）＜0；
所以當x=-2時f（x）取得極大值，f（-2）=

20

3

，當x=2時f（x）取得極小值，f（2）=-4，
要使方程f（x）=k有3個解，只需-4＜k＜

20

3

．
故實數k的取值范圍為：-4＜k＜

20

3

．

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件及根的個數判斷，考查數形結合思想，屬中檔題．