Question

（本小題滿分13分）

如圖,在直三棱柱（側棱垂直于底面的棱柱）中, , , , ,點是的中點.

(Ⅰ) 求證:∥平面；

(Ⅱ)求AC₁與平面CC₁B₁B所成的角．

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)見解析；(Ⅱ) AC₁與平面CC₁B₁B所成的角為60^O。

【解析】

試題分析：（1）設CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，根據D是AB的中點，E是BC₁的中點，可知DE∥AC₁，而DE⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，根據線面平行的判定定理可知AC₁∥平面CDB₁；（2）結合三棱柱的性質可知∠AC₁C為AC₁與平面CC₁B₁B所成的角。

證明:   (Ⅰ) 令BC₁與CB₁的交點為E, 連結DE.

∵  D是AB的中點, E為BC₁的中點, ∴DE∥AC₁

∵ AC₁平面CDB₁, DE平面CDB₁,

∴AC₁∥平面CDB₁.   ………………6分

(Ⅱ) ∵ 三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱,

    ∴  C₁C⊥平面ABC, ∴C₁C⊥AC,

    ∵  AC=3, BC=4, AB=5,

∴ ,   ∴ ,

∴ AC⊥平面CC₁B₁B,

∴  ∠AC₁C為AC₁與平面CC₁B₁B所成的角

∵，

根據平面幾何知識得：∠AC₁C=60^O

∴AC₁與平面CC₁B₁B所成的角為60^O………13分

考點：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關系的判定，同時考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎題。

點評：解決該試題的關鍵是對于三棱柱性質的熟練運用和線面平行的判定定理的準確的運用和求解。