Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛，經過t小時與輪船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（Ⅱ）假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案（即確定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）海里/小時（Ⅱ）方案如下：航行方向為北偏東，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇.

解析試題分析：（I）設相遇時小艇航行的距離為S海里，則

=
=，
故當時，，此時，
即小艇以海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小。

（II）設小艇與輪船在B出相遇，則
，
故，
，，
即，解得，
又時，，
故時，t取最小值，且最小值等于，
此時，在中，有，故可設計方案如下：
航行方向為北偏東，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇.
考點：本小題主要考查解三角形在實際問題中的應用.
點評：正弦定理和余弦定理在解三角形中應用十分廣泛，要準確靈活應用，應用正弦定理時要注意解的個數問題.