Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數，且滿足f(x+2)=-

1

f(x)

，則“f（x）為[-3，-1]上的減函數”是“f（x）為[4，7]上的增函數”的（　　）

A．充分而不必要的條件

B．必要而不充分的條件

C．充要條件

D．即不充分也不必要的條件

Answer 1

分析：根據偶函數的性質，根據等式f(x+2)=-

1

f(x)

，求出f（x）的周期，偶函數的圖象是關于y軸對稱，函數的單調性在x＞0和x＜0是相反的，從而進行判斷；

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（-x）=f（x），
∵f(x+2)=-

1

f(x)

，可得f（x+4）=-

1

f(x+2)

，
∴f（x+4）=-

1

f(x+2)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
∴函數的周期為T=4，
若“f（x）為[-3，-1]上的減函數，可得f（x）在[1，3]上是增函數，同理再加一個周期4，可得
f（x）在[4，7]上為增函數，
若“f（x）為[5，7]上的增函數，減去兩個周期，
∴f（x）在[-3，-1]上為減函數，
∴“f（x）為[-3，-1]上的減函數”是“f（x）為[4，7]上的增函數的充要條件；
故選C；

點評：此題主要考查偶函數的性質及其單調性的應用，是一道基礎題，考查的知識點比較全面；