Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an 2 +n-1，n為奇數 an-2n     ，n為偶數

，記b_n=a_2n（n∈N*），S_n為數列{b_n}的前n項和．
（Ⅰ）證明數列{b_n}為等比數列，并求其通項公式；
（Ⅱ）若對任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+s_n-1恒成立，求實數λ的取值范圍；
（Ⅲ）令c_n=

(n+1)( 5 11 )n

bn

，證明：c_n≤

1010

119

（n∈N*）．

Answer 1

分析：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答時：
（Ⅰ）首先由b_n=a_2n可推得：bn+1 =

1

2

bn從而獲得數列{b_n}是首項和公比都為

1

2

的等比數列，進而用等比數列的通項公式即可獲得問題的解答；
（Ⅱ）利用第一問的結論再結合等比數列的前n項和公式可得：1+Sn-1=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

（n≥2）．又因為：對任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+S_n-1恒成立，
則λ大于等于1+S_n-1的最大值，故λ的取值范圍是即可解答；
（Ⅲ）首先利用第一問的結論對C_n進行化簡，然后利用作差法即可獲得數列在不同范圍上的單調性，進而求得數列{c_n}的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為b_n=a_2n，由已知可得，
bn+1=a2(n+1)=a(2n+1)+1=

a2n+1

2

+(2n+1)-1
=

a2n+1

2

+2n=

a2n-4n

2

+2n=

1

2

a2n=

1

2

bn．
又a₁=1，則b1=a2=

1

2

a1=

1

2

．
所以數列b_n是首項和公比都為

1

2

的等比數列，
故bn=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
∴數列{b_n}為等比數列，并求其通項公式為：bn=(

1

2

)n，n∈N*．
（Ⅱ）因為1+Sn-1=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-

1

2n-1

＜2（n≥2）．
若對任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+S_n-1恒成立，
則λ≥2，故λ的取值范圍是[2，+∞）．
（Ⅲ）因為cn=

(n+1)( 5 11 )n

bn

=(n+1)(

10

11

)n，則
cn+1-cn=(n+2)(

10

11

)n+1-(n+1)(

10

11

)n=(

10

11

)n[(n+2)

10

11

-(n+1)]=(

10

11

)n •

9-n

11

．
當n＜9時，c_n+1-c_n＞0，即c_n＜c_n+1；
當n=9時，c_n+1-c_n=0，即c_n=c_n+1；
當n＞9時，c_n+1-c_n＜0，即c_n＞c_n+1．
所以數列c_n的最大項是c₉或c₁₀，
且c9=c10=

1010

119

，故cn≤

1010

119

．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了計算轉化的能力、恒成立問題的解答能力以及定義法證明函數單調性的知識．同時作差法、放縮法在題目當中也得到了充分的體現．值得同學們體會反思．