Question

已知數列a_n的相鄰兩項a_n，a_n+1滿足，且a₁=1

（1）求證是等比數列

（2）求數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n．

Answer 1

考點：

數列遞推式；等比關系的確定；數列的求和．

專題：

計算題；等差數列與等比數列．

分析：

（1）由，得=﹣（），由此能證明數列{}是等比數列．

（2）由，知S_n={（2+2²+2³+…+2ⁿ）﹣[﹣（﹣1）+（﹣1）²+…+（﹣1）ⁿ]}，由此能求出數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n．

解答：

解：（1）由，

得=﹣（），

故數列{}是首項為=，公比為﹣1的等比數列．

（2）由（1）知，

即，

S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n

={（2+2²+2³+…+2ⁿ）﹣[﹣（﹣1）+（﹣1）²+…+（﹣1）ⁿ]}

=（2ⁿ⁺¹﹣2﹣）

=﹣（﹣1）ⁿ﹣．

點評：

本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式和數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．