Question

已知數列{a_n}的前三項與數列{b_n}的前三項對應相同，且a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n，對任意n∈N^*都成立，數列{b_n-1-b_n}是等差數列，則數列{b_n}的通項公式為

b_n=n²-7n+14

．

Answer 1

分析：由已知式子可得a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=8（n-1），兩式相減可得a_n=2^4-n，進而可得b_n+1-b_n=2n-6，累加法可得答案．

解答：解：∵a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n（n∈N^*）①
∴當n≥2時，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=8（n-1）（n∈N^*）②
①-②得2^n-1a_n=8，解得a_n=2^4-n，
在①中令n=1，可得a₁=8=2^4-1，∴a_n=2^4-n（n∈N^*）
由題意b₁=8，b₂=4，b₃=2，∴b₂-b₁=-4，b₃-b₂=-2，
∴數列{b_n+1-b_n}的公差為-2-（-4）=2，
∴b_n+1-b_n=-4+（n-1）×2=2n-6，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=8+（-4）+（-2）+…+（2n-8）=n²-7n+14
故答案為：b_n=n²-7n+14

點評：本題考查數列的通項公式，涉及累加法的應用．