Question

已知函數，其中.

（Ⅰ）若，求的值，并求此時曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數在區間上的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）、；（Ⅱ）當時；當時，；當時，的最小值為。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求導，代入0可求得a的值。再將代入原函數求，既得切點坐標，再將代入導函數求，根據導數的幾何意義可知即為切線在點處切線的斜率，根據直線方程的點斜式即可求得切線方程。（Ⅱ）先求導數，及其零點，判斷導數符號變化，即可得原函數增減變化，可得其極值。再求其端點處的函數值。比較極值和端點處函數值最小的一個即為最小值。此題注意分類討論。

試題解析：解：（Ⅰ）已知函數，

所以，，

又，所以.

又，

所以曲線在點處的切線方程為. 5分

（Ⅱ），

令，則.

（1）當時，在上恒成立，所以函數在區間上單調遞增，所以；

（2）當時，在區間上，，在區間上，，所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，且是

上唯一極值點，所以；

（3）當時，在區間上，（僅有當時），所以 在區間上單調遞減

所以函數.

綜上所述，當時，函數的最小值為，

時，函數的最小值為 13分

考點：（1）導數、導數的幾何意義（2）利用導數研究函數性質