Question

（2013•廣州二模）如圖，在三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（1）求證：平面PBC丄平面PAC
（2）已知PA=1，AB=2，當三棱錐P-ABC的體積 最大時，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）由線線垂直證線面垂直，再由線面垂直證面面垂直即可；
（2）根據棱錐的體積公式，構造函數，通過求函數的最大值，求得三棱錐的體積的最大值及最大值時的條件．

解答：解：（1）證明：∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA
∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA，又PA∩CA=A，
∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．
（2）由（1）知：PA⊥平面ABC，BC⊥CA，
設BC=x（0＜x＜2），AC=

AB2-BC2

=

22-x2

=

4-x2

，
V_P-ABC=

1

3

×S_△ABC×PA=

1

6

x

4-x2

=

1

6

x2(4-x2)

≤

1

6

×

x2+4-x2

2

=

1

3

．
當且僅當x=

2

時，取“=”，
故三棱錐P-ABC的體積最大為

1

3

，此時BC=

2

．

點評：本題考查面面垂直的判定及三棱錐的體積．