Question

過橢圓x²+2y²=2的焦點引一條傾斜角為45°的直線與橢圓交于A、B兩點，橢圓的中心為O，則△AOB的面積為

 

．

Answer 1

分析：由題設條件求出橢圓的焦點坐標，進而求出直線AB的方程，把直線AB代入橢圓方程，求出線段AB的長，再由點到直線距離公式求出原點到直線AB的距離，由此能求出△AOB的面積．

解答：解：把橢圓x²+2y²=2轉化為標準方程

x2

2

+y²=1，
∵a²=1，b²=1，
∴橢圓x²+2y²=2的焦點F₁（1，0），F₂（-1，0），
∵過橢圓x²+2y²=2的焦點引一條傾斜角為45°的直線與橢圓交于A、B兩點，
設直線AB過焦點F₁（1，0），
∴直線AB的方程為y=x-1，
聯立方程組

x2+2y2=2 y=x-1

，
整理，得4x²-4x=0，
解得

x1=0 y1=-1

，

x2=1 y2=0

，
∴|AB|=

(1-0)2+(0+1)2

=

2

，
∵原點O到直線AB：y=x-1的距離d=

|0-0-1|

2

=

2

2

，
∴S_△AOB=

1

2

×

2

×

2

2

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查三角形面積的求法，涉及到橢圓性質、直線方程、點到直線距離公式等知識點，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．