Question

若數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，已知等方差數(shù)列滿足，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）記，則當(dāng)實(shí)數(shù)大于4時(shí)，不等式能否對(duì)于一切的恒成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于一切的恒成立  .

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的概念和靈活運(yùn)用新的定義，解決數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和問(wèn)題，以及不等式的恒成立問(wèn)題的綜合運(yùn)用

（1）利用新定義可得由，得，，∴

（2）中結(jié)合上一問(wèn)的結(jié)論得到，然后利用錯(cuò)位相減法得到求和

（3），不等式恒成立，

即對(duì)于一切的恒成立。

∴

分離參數(shù)的思想求解k的取值范圍。

解：（Ⅰ）由，得，，∴

，

∵，∴

數(shù)列的通項(xiàng)公式為； 

（Ⅱ）

設(shè)  ①

 ②

①－②，得

∴

∴

即數(shù)列的前項(xiàng)和為 

（Ⅲ）解法1：，不等式恒成立，

即對(duì)于一切的恒成立。

設(shè)，當(dāng)時(shí)，由于對(duì)稱軸，且

而函數(shù)在是增函數(shù)，∴不等式恒成立，

即當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于一切的恒成立  

解法2：，不等式恒成立，即對(duì)于一切的恒成立。

∴

∵，∴．而

∴恒成立．

故當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于一切的恒成立．