Question

（本題滿分12分）
設數列{a_n}的前n項和為S_n＝2n²，{b_n}為等比數列，且a₁＝b₁，b₂(a₂－a₁)＝b₁．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設c_n＝，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：(1)當n≥2時，
a_n＝S_n－S_n－1＝2n²－2(n－1)²＝4n－2，當n＝1時，a₁＝S₁＝2滿足上式，
故{a_n}的通項式為a_n＝4n－2．設{b_n}的公比為q，由已知條件b₂(a₂－a₁)＝b₁知，b₁＝2，b₂＝，所以q＝，∴b_n＝b₁q^n－1＝2×，即b_n＝ ．                         …….6分
(2)∵c_n＝＝＝(2n－1)4^n－1，∴T_n＝c₁＋c₂＋…＋c_n＝[1＋3×4¹＋5×4²＋…＋(2n－1)4^n－1]
4T_n＝[1×4＋3×4²＋5×4²＋…＋(2n－3)4^n－1＋(2n－1)4ⁿ]兩式相減得：
3T_n＝－1－2(4¹＋4²＋4³＋…＋4^n－1)＋(2n－1)4ⁿ＝[(6n－5)4ⁿ＋5]
∴T_n＝[(6n－5)4ⁿ＋5] ．                                                  …….12分

略