Question

已知常數p＞0且p≠1，數列{a_n}前n項和Sn=

p

1-p

(1-an)數列{b_n}滿足b_n+1-b_n=log_pa_2n-1且b₁=1，
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）若對于區間[0，1]上的任意實數λ，總存在不小于2的自然數k，當n≥k時，b_n≥（1-λ）（3n-2）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

p

1-p

(1-an)-

p

1-p

(1-an-1)，整理得a_n=pa_n-1，由a_n＞0，知

an

an-1

=p，故數列{a_n}等比數列．
（2）由a_n=pⁿb_n+1-b_n=log_pa_2n-1=2n-1，知b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=n²-2n+2，故（n²-2n+2）≥（1-λ）（3n-2），變形為（3n-2）λ+n²-5n+4≥0在λ∈[0，1]時恒成立．由此能求出k的最小值．

解答：解：（1）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

p

1-p

(1-an)-

p

1-p

(1-an-1)整理得a_n=pa_n-1又a1=S1=

p

1-p

(1-a1)?a1=p＞0
恒有a_n＞0從而

an

an-1

=p數列a_n等比數列
（2）由（1）知a_n=pⁿb_n+1-b_n=log_pa_2n-1=2n-1∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）++（b₂-b₁）+b₁=n²-2n+2
∴（n²-2n+2）≥（1-λ）（3n-2）變形為（3n-2）λ+n²-5n+4≥0在λ∈[0，1]時恒成立
記f（λ）=（3n-2）λ+n²-5n+4則有：

f(0)≥0 f(1)≥0

?n≥4或n≤1但由于n≥2∴n≥4
綜上知：k的最小值為4

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，注意等比數列的證明．