Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求異面直線PC與AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）在側棱PA上是否存在一點E，使得平面CDE與平面ADC所成角的余弦值是

2

3

，若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）以A為原點，分別以AD，AB，AP所在直線x，y，z軸建立空間直角坐標系．

∴A（0，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，2）．
∴

PC

=(2，2，-2)，

AB

=(0，2，0)．
∴cos＜

PC

，

AB

＞=

PC • AB

| PC || AB |

=

4

4 3

=

3

3

∴異面直線PC與AB所成角的余弦值是

3

3

…（8分）
（Ⅲ）假設在側棱PA上存在一點E，使得平面CDE與平面ADC所成角的余弦值是

2

3

，
設E（0，0，m）（m＞0），∴

DC

=(1，2，0)，

DE

=(-1，0，m)，
∴設平面CDE的法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

n

•

DC

=0，

n

•

DE

=0，
∴

x+2y=0 -x+mz=0

令x=2，所以y=-1，z=

2

m

，∴

n

=(2，-1，

2

m

)．
又∵平面ACD的法向量為

AP

=(0，0，2)，
∴cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n || AP |

=

4 m

5+ 4 m2 ×2

=

2

3

，∴m=1
∴點E的坐標是（0，0，1）．
∴在側棱PA上存在一點E（0，0，1），使得平面CDE與平面ADC所成角的余弦值是

2

3

．…（14分）