Question

已知函數滿足f(2)=1，且方程f(x)=x有且僅有一個實數根．
(Ⅰ)求函數f(x)的解析式；
(Ⅱ)設數列{a_n}滿足a₁=l，a_n+1=f(a_n)≠l，n∈N*，求數列{a_n}的通項公式；
(Ⅲ)定義，對于(Ⅱ)中的數列{a_n}，令，設S_n為數列{b_n}的前n項和，求證：S_n＞ln(n+1)．

Answer 1

解：(Ⅰ)由，得，
又有且僅有一個解，即有唯一解滿足，且，
∵a≠0，
∴當時，b=1，x=0，
則，此時，
又當時，，
因此，
所以，，
則a=1，此時，，
綜上所述，或者。
(Ⅱ)，
當時，，不合題意；
則，
∴，
則。
 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，，
∴，則，
所以，，
設數列{c_n}的前n項和為，
則，
當n≥2時，，
要證明，
令，只要證明，其中t＞1，
令，
則，
所以，在上是增函數，
則當x＞1時，，即，
所以，，
則。
說明：也可用數學歸納法證明，為此，先證明，
即證：lnt＜t-1，其中t>l。