Question

已知函數.
(1)求的單調區間；
(2)設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

(1) 函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為
(2)

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）函數，求解定義域和導數，然后利用導數的正負號判定單調性。
（2）由已知，轉化為.，然后分別求解最值得到參數的范圍。
解：(1)，     ………………2分
①當時，由于，故，         ………………3分
所以，的單調遞增區間為.        ………………4分
②當時，由，得. ………………5分
在區間上，，在區間上，
所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.…………7分
（2）由已知，轉化為.                    ………………8分
                                              ………………9分
由(1)知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.
(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)     ………………11分
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
故的極大值即為最大值，，  ………14分
所以，解得.          ………15分